Persamaan Difusivitas Radial Untuk Aliran Multifasa dan Fluida Kompresibel

TeknTulisan ini disarikan dari kuliah Teknik Reservoir II yang diasuh oleh Mas Asep a.k.a Dr.Ir. Asep Kurnia Permadi, pada tanggal 9 Februari 2009 + slide dari Mas DA a.k.a Dr.Ir.Doddy Abdassah.

Pada kuliah sebelumnya, telah dijelaskan mengenai penyusunan persamaan difusivitas radial untuk fluida slightly compressible, yang disusun berdasarkan 3 persamaan:

• 
  
  Persamaan kontinuitas
• 
  
  Persamaan Darcy (Equation of Motion)
• 
  
  Persamaan Keadaan (Equation of State)

Dan dengan memasukkan berbagai asumsi, meliputi:

• 
  
  Aliran laminar
• 
  
  Fluida slightly compressible
• 
  
  Aliran yang terjadi radial cylindrical
• 
  
  Media aliran homogen, isotropic
• 
  
  Dll

Didapatlah persamaan difusivitas radial sebagai berikut:

Kemudian, bagaimana jika yang mengalir adalah fluida multifasa, ataupun fluida kompresibel (gas)?

Aliran Multifasa

Menurut Martin, persamaan aliran untuk aliran 3 fasa di dalam media berpori, dengan mengabaikan efek gravitasi dan kompresibilitas batuan adalah sebagai berikut :

Dengan melakukan manipulasi matematis, meliputi product rule dan chain rule, dengan mempertimbangan :

Permeabilitas relatif(k) = fungsi saturasi(S)

Saturasi(S), viskositas(µ), faktor volume(β), gas liquid ratio(R ) = fungsi tekanan

didapatlah persamaan berikut:

dengan asumsi bahwa perubahan tekanan dan saturasi terhadap lokasi kecil, maka nilai – nilai ∇P.∇P, ∇P.∇S_o, dan ∇P.∇S_w dapat diabaikan.

Dengan asumsi di atas, maka persamaan (4), (5), dan (6) menjadi :

Dengan eliminasi ∇²P dari persamaan (7), (8), dan (9) akan diperoleh sistem ODP sebagai berikut:

Di mana tanda aksen menyatakan derivatif terhadap P, Ct adalah kompresibilitas total, dan λ adalah perjumlahan dari mobilitas tiap fasa fluida, dengan:

Dengan mengkombinasikan persamaan (10) dan (11), didapat :

yang bentuknya mirip dengan persamaan difusivitas untuk fluida slightly compressible, oleh karena itu dapat diselesaikan dengan metode yang sama untuk mencari solusi pada persamaan difusivitas untuk fluida slightly compressible.

Aliran Compressible Fluid

Untuk mendapatkan persamaan difusivitas untuk aliran compressible fluid sebenarnya sama saja dengan slightly compressible fluid. Hanya saja persamaan yang dihasilkan adalah nonlinear, sebab koefisien dalam persamaan difusivitas tersebut adalah fungsi (strong function) dari dependent variable. Dalam hal ini, yang menjadi koefisien adalah kompresibilitas dan viskositas, sedangkan dependent variable-nya adalah tekanan. Agar persamaan ini dapat diselesaikan, perlu dilakukan suatu linearisasi. Salah satunya adalah dengan mengumpulkan variabel-variable yang merupakan fungsi tekanan, dengan tekanan itu sendiri, sehingga didapatkan variable baru, yang berfungsi sebagai dependent variable untuk menggantikan tekanan, yang telah mencakup semua parameter yang merupakan fungsi dari tekanan. contohnya adalah pseudopressure, yang didefinisikan sebagai berikut :

Dengan menerapkan pseudopressure, persamaan difusivitas menjadi linear, dan dapat ditentukan solusinya.