Pembuktian Bahwa Semua Garis Tinggi Suatu Segitiga Lancip Berpotongan di Satu Titik

Semasa SMA kita pastinya pernah diberi tahu oleh guru matematika bahwa garis tinggi dari suatu segitiga lancip yang ditarik dari tiap sisinya akan bertemu di suatu titik. Garis tinggi adalah garis yang tegak lurus terhadap salah satu sisi segitiga dan memotong titik sudut yang ada di hadapan sisi tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini:

Jika dari ketiga sisi segitiga ditarik suatu garis tinggi, hasilnya akan seperti di bawah ini:

Penurunan Salah Satu Kesamaan Trigonometri (I)

Sebagai mahasiswa yang pernah mengenyam bangku sekolah tentu kita tidak asing lagi dengan suatu kesamaan trigonometri (berdasarkan gambar segitiga di atas):

Namun, sebagaimana rumus-rumus atau persamaan lainnya, waktu SMA kita hanya mendapat kesamaan ini secara mentah-mentah dan harus mengimaninya. Tentu matematika bukanlah agama. Dalam matematika segala sesuatu harus bisa dijelaskan dari mana asal usulnya. Oleh karena itu, saya mencoba untuk mencari dari mana kesamaan di atas berasal.
Suatu ketika saya mendapat ide untuk membuktikan kesamaan di atas, yaitu ketika kita menghitung luas suatu segitiga,  tidak peduli alas atau tinggi yang digunakan, hasilnya harus sama. Dalam kalimat matematika bisa ditulis sebagai berikut:

Ketika semua suku dibagi dengan ABC, diperoleh kesamaan sebagai berikut:

Penurunan Rumus Jarak Suatu Titik Terhadap Suatu Garis Lurus

Jarak suatu titik terhadap suatu garis merupakan jarak dari titik tersebut terhadap titik yang merupakan perpotongan garis di atas dengan suatu garis yang tegak lurus dengan garis di atas dan memotong titik tersebut di atas (hahahaha, kata-katanya susah dicerna). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini:

Persamaan Garis Lurus:

Persamaan Garis yang tegak lurus dengan persamaan garis di atas dan memotong titik x1,y1

Kedua garis tersebut berpotongan di titik x2,y2 dan dengan memasukkannya ke dalam kedua persamaan garis di atas, didapatkan x2,y2 sebagai fungsi dari x1,y1:

Dari sini, telah diperoleh persamaan untuk titik x2,y2. Jarak antara titik x1,y1 ke garis ax+by+c =0 merupakan jarak antara (x1,y1) dan (x2,y2). Berdasarkan rumus jarak antara dua titik (menggunakan rumus Phytagoras):

Dengan memasukkan semua peubah, maka akan didapat rumus untuk menentukan jarak (D). Namun, untuk mempermudah penurunannya, rumus di atas perlu dikerjakan suku per suku.

Suku (x2-x1)

Suku (y2-y1)

Rumus jarak

 









Ternyata menurunkan rumus itu cukup mengasyikkan.. Besok lagi ah, hehehehe

Penurunan Rumus Akar Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah penurunan rumus untuk mencari akar suatu persamaan kuadrat, yaitu rumus yang terkenal itu: