Pembuktian Bahwa Semua Garis Tinggi Suatu Segitiga Lancip Berpotongan di Satu Titik

Semasa SMA kita pastinya pernah diberi tahu oleh guru matematika bahwa garis tinggi dari suatu segitiga lancip yang ditarik dari tiap sisinya akan bertemu di suatu titik. Garis tinggi adalah garis yang tegak lurus terhadap salah satu sisi segitiga dan memotong titik sudut yang ada di hadapan sisi tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini:

Jika dari ketiga sisi segitiga ditarik suatu garis tinggi, hasilnya akan seperti di bawah ini:

Di awal disebutkan bahwa ketiga garis tinggi tersebut akan bertemu di satu titik. Gambar di atas mungkin cukup bisa mengindikasikan terhadap hal tersebut. Namun, jika kita ingin membuktikannya secara geometri (yaitu dengan menggambar ketiga garis tinggi secara teliti), apakah kita akan benar-benar yakin jika ketiga garis itu bertemu di satu titik? Seberapa telitikah peralatan yang akan kita gunakan untuk menggambar garis tinggi sehingga kita benar-benar yakin jika ketiga garis tinggi suatu segitiga pasti akan bertemu di satu titik? Jika dalam pembuktiannya digunakan pendekatan geometri, mungkin hal tersebut akan dialami (yaitu masalah ketelitian). Oleh karena itu, agar lebih yakin dalam pembuktiannya, saya menggunakan pendekatan aljabar dan trigonometri.
Strategi yang saya gunakan untuk membuktikan pernyataan yang ada di judul tulisan ini adalah dengan menggambar dua garis tinggi terlebih dahulu, kemudian saya akan memasang notasi-notasi yang menunjukkan panjang dan sudut. Selanjutnya saya menarik garis yang tegak lurus terhadap sisi yang belum memiliki garis tinggi sedemikian sehingga garis tersebut memotong titik perpotongan dua garis tinggi sebelumnya. Garis ini disebut garis ps. Setelah itu, saya menarik garis yang menghubungkan titik s dan titik z. Garis ini saya beri nama garis sz. Perhatikan gambar di bawah ini:

Berikut adalah silogisme untuk pembuktian bahwa semua garis tinggi suatu segitiga lancip bertemu di satu titik:

Semua garis tinggi segitiga bertemu pada satu titik jika bisa dibuktikan bahwa garis ps dan sz membentuk satu garis prz yang merupakan suatu garis tinggi segitiga.

Pembuktian bahwa garis ps segaris dengan garis sz:

Pemikiran yang mendasari hal ini adalah bahwa suatu dua garis lurus yang berpotongan akan membentuk suatu sudut yang berhadapan dengan besar sudut yang sama, atau bisa dikatakan satu garis akan memiliki dua sudut yang berhadapan dan sama besar jika dan hanya jika dipotong oleh suatu garis lurus lain. Jika satu garis telah diketahui kelurusannya, dan dua sudut yang berhadapan terbukti sama besarnya, maka garis yang kedua pastilah garis lurus. Di sini, garis yang telah terbukti kelurusannya adalah garis yr. Untuk membuktikan bahwa garis ps dan sz berada pada satu garis lurus pz, maka sudut rsz harus terbukti sama dengan sudut psy. Berdasarkan suatu kesebangunan segitiga xry dan segitiga psy, maka sudut psy = sudut (alpha+beta). Untuk segitiga rsz, berlaku :

dari analisis didapat:

Berdasarkan pernyataan di atas maka terbukti bahwa garis ps segaris dengan garis sz, sehingga garis psz merupakan satu garis lurus. Persyaratan pertama terbukti.

Pembuktian bahwa garis psz merupakan garis tinggi segitiga:
Sebelumnya telah diketahui bahwa garis ps tegak lurus terhadap sisi A, dan telah dibuktikan bahwa garis ps segaris dengan garis sz, atau garis psz merupakan satu garis lurus. Dari kedua pernyataan tersebut dapat ditarik suatu kesimpulan bahwa garis psz merupakan satu garis lurus yang melalui titik sudut z dan tegak lurus terhadap sisi A yang berada di hadapan titik sudut z, dan tidak bisa tidak, garis psz merupakan suatu garis tinggi segitiga.
Jadi terbukti bahwa ketiga garis tinggi suatu segitiga lancip berpotongan di satu titik.